Über das Buch

Rezension

„Der Autor zeigt sich als guter Kenner der mathematischen und philosophischen Quellen, sowie der mathematikhistorischen Literatur. Er führt bislang meist getrennt und in unterschiedlichen Kontexten diskutierte Untersuchungen zusammen, etwa zu Kants „inkongruenten Gegenstücken“ und Legendres (Spiegel-)Symmetrie einerseits und Studien der eigenständigen Herausbildung eines komplexeren Symmetriekonzepts innerhalb der Kristallographie des frühen 19. Jahrhunderts.

[...] Das Buch ist gut zu lesen und empfehlenswert für alle, die an historischen Fragen der Kongruenz- und Bewegungsbegriffe interessiert sind. [...] In [dem umfangreichen Anmerkungsapparat] werden Passagen und Zitate aus den untersuchten Quellen dokumentiert. Das [...] macht das Buch gegebenfalls auch zum Nachschlagen nützlich.“

– Erhard Scholz in: Mathematische Semesterberichte, 2011, Nr. 1, DOI 10.1007/s00591-011-0086-x

Zum Inhalt

Vor annähernd 100 Jahren erschienen Friedrich Schurs „Grundlagen der Geometrie“. Darin setzte Schur an die Stelle der Hilbertschen Kongruenzaxiome Bewegungsaxiome und erarbeitete so unter Benutzung von Umlegungen als besonders einfachen und anschaulichen Bewegungen eine Gesamtdarstellung der Grundlehren der Geometrie auf der Grundlage der Begriffe Transformation und Gruppe. Damit lieferte Schur eine Alternativ-Lösung für das seit Euklid virulente Kongruenzproblem – d.h. die Frage, inwieweit der Begriff der Bewegung, insofern durch Bewegung Figuren zur Deckung gebracht werden können, für die Definition der Kongruenz notwendig ist oder ob nicht viel mehr dem Begriff der geometrischen Bewegung der Begriff der Kongruenz zugrunde liegt.

David Hilbert hatte in seinen äußerst einflussreichen „Grundlagen der Geometrie“ dieses Problem gelöst, indem er Bewegungen aus der euklidischen Geometrie verbannte und den Kongruenzbegriff axiomatisch fixierte. Damit befriedigte Hilbert ein lange gehegtes Verlangen, demzufolge Bewegungen als ein im Grunde empirisches oder mechanisches Element einen Fremdkörper in einer Geometrie im Sinne Euklids oder Platons darstellen. Bis weit ins 19. Jahrhundert hinein galt es als vordringliche Aufgabe, Bewegungen, die mittels Superpositionsmethode die zentrale Beweisstrategie der Sätze (I,4), (I,8) und (III,24) in den Elementen Euklids darstellten, aus dem Bereich der Geometrie zu eliminieren. Auf der anderen Seite zeigt das Beispiel von Schurs „Grundlagen der Geometrie“, dass Bewegungen für die Geometrie von fundamentaler Bedeutung sein können.

Das Ziel dieser Untersuchung war es nun, die Umstände dieses Bedeutungswandels näher zu beleuchten und zu ergründen. Welche Motive gab es, sich mit dem Abbildungsbegriff auseinander zu setzen, wo sind die Wurzeln einer solchen Entwicklung zu suchen sind und wer hatte an dieser Entwicklung entscheidenden Anteil?
Der Autor identifiziert im Wesentlichen drei Problemstränge als…

Schlagworte

Mathematik, Mathematikgeschichte, Geometrie, David Hilbert, Friedrich Schur, Mathematikdidaktik, Kongruenzproblem, Starrkörper-Mechanik, Axiomatik, Kristallographie, Bewegung, Geometrieunterricht